Büyük Sayılar Yasası

2. dünya savaşı. Amerika hava hakimiyetini sağlamakta zorlanıyor. Ciddi kayıplar veriyor. Göreve çıkan birçok uçak geri dönmüyor. Hem çok pahalı uçaklar kaybediliyor hem de çok değerli pilotlar. Bunun çözülmesi lazım. Manhattan da bilim insanları kolları sıvıyor. Fizik. Kimya. Derken ilginç bir isim devreye giriyor. Abraham Wald. Macar İstatistikçi ve Matematikçi.

Savaş uçakları ile istatistik ne alaka diye düşünmeyin.

Uzmanlar uçakları güçlendirmek ve bazı bölmelere çelik takviyesi yapmak istiyorlar ancak uçağın da çok ağır olmasını istemiyorlar. Onun için uçağın neresine takviye yapılması gerektiği konusunda savaştan dönen uçaklarda bir inceleme yapıyorlar. En çok nerelerinden kurşun yediklerine bakıyorlar mesela. Görünüşe göre, istatistiksel anlamda çok ağır basacak bir şekilde uçakların genellikle arka kısmında ve yakıt bölümünde toplanıyor mermiler. Motor kısmında hiç mermi girişi yok neredeyse. Uçakların genellikle bu bölgelerden ateş aldığı sonucuna vararak haliyle hemen bu bölgelere takviye yapma kararı alınıyor.

İşte tam burada Abraham Wald ve ekibi “hayır” diyor. Büyük bir hata yapıyorsunuz…

Geri dönen uçakların nerelerden ateş aldığının hiçbir önemi yok. Sizin baktığınız uçaklar geri dönebilen uçaklar… Aldıkları hasar düşmelerine neden olmamış. Düşenlere bakma imkanınız olsaydı büyük ihtimalle çoğunun motor kısmından ateş aldığını görürsünüz. O nedenle istatistiksel olarak en az ateş aldıkları yerlere, özellikle motor kısmına takviye yapmalısınız. Diyor… Ve öyle yapıyorlar. Ve ne oluyor biliyor musunuz? Geri dönen uçak sayısında ciddi bir artış oluyor ve Amerika hava hakimiyetini de sağlamaya başlıyor…

Bu arada bu yaklaşımı ile Wald literatüre hayatta kalanlara çok odaklanıp, başarısız olanların neden başarısız olduklarını gözardı etmek. insanoğlunun doğru düzgün istatistik bilmemesinden kaynaklanan bir akıl yürütme/mantık hatası olarak bilinen “survivorship bias” yani hayatta kalana odaklanma hatasını sokmuştur.

İstatistik hayat mı kurtarırmış diyen olursa bu hikayeyi anlatabilirsiniz.

Tabi her zaman hayat kurtarmaz ancak istatistiğe veya daha genel anlamda sayılara nasıl bakmamız ve yorumlamamız gerektiğiniz öğrendiğimizde hayatımız gerçekten değişebilir. Matematiksel düşünceden bahsediyorum. Sayıları, istatistikleri doğru yorumlamaktan. Size istatistik verilerek sunulan argümanlara nasıl şüphe ile yaklaşmanız gerektiğinden. Daha az korkuyla yaşamaktan. Medyanın aldatmacasından kurtulmaktan… Nasıl mı? Gelin bakalım.

Burada odaklanacağımız konu aslında sayılardan nasıl bir anlam çıkarabileceğimiz. Ama öyle üçten beşten bahsetmiyoruz. Ya da kafanızdan büyük bir sayının karekökünü hesaplayabilmekten de değil. Mesela yaşadığınız ülkenin dış borcu birkaç yüz milyar dolar olduğunda bunun ne anlama geldiğini kavrayabilmekten.

Çünkü sayılar büyüdükçe anlamını yitirmeye başlayabiliyor. Dikkatimiz dağılabiliyor ve ne kadar önemli olduğunu kaçırabiliyoruz.

Hislerimize, duygularımıza yenilebiliyoruz.

Örneğin bir milyon, bir milyar ya da bir trilyon arasındaki fark düşündüğümüzden de devasa olabiliyor.

Birkaç örnekle gidelim önce.

Mesela. Vücudumuzda 100 trilyon bakteri var. Bayağı çok değil mi?

Tüm dünyada. Şu anda 10 kentilyon civarı böcek yaşıyor. 10 kentilyon.

Evrende hesaplamalara göre 300 sekstilyon yıldız var.

Çılgın değil mi? Ama ne demek bu.

Burada mesela bir, yüz, yüzbin, ve bir milyonun karşılaştırmasını görüyoruz.

Bir milyon böyle görünüyorsa. Bir milyarı. Bir trilyonu bir düşünün.

Ya da şunu düşünelim.

Bir milyon saniye ne kadar uzun bir süre sizce? Yaklaşık 12 gün kadar.

1 milyar saniye peki?

1 milyar saniye yaşında olabilir misiniz? Yaşınız 32 ise evet.

Bir milyar saniyenin geçmesi 32 yıl sürer. (BENİM YAŞIM VAY BE 1 MİLYAR SANİYE) :D

Peki bir trilyon saniye?

Doğduğunuzdan itibaren bir trilyon saniye sonra hayatta olur musunuz mesela?

Maalesef hayır.

Bir trilyon saniye yaklaşık 32 bin yıl eder.

Bir de şuradan bakın.

Dünyada şu anda 7.6 milyar kadar insan var.

Çok. Ama. Çok kalabalığız.

Bu sayı aslında tesadüfleri de açıklıyor. Sayı arttıkça tesadüf olarak addettiğimiz olayların olasılığı da.

Buna istatistikçiler “çok büyük sayıların yasası” diyor.

Mesela 2009 yılında Bulgaristan’da bir piyangoda çıkan sayılar şunlardı. 4. 15. 23. 24. 35. 42.

Dört gün sonra bir çekiliş daha gerçekleşti ve çıkan sayılar neydi biliyor musunuz?

4. 15. 23. 24. 35. 42.

Evet. Aynı sayılar.

Ortalık karıştı tabi. Soruşturma başladı. Büyük bir hile olduğu düşünülüyordu.

Ama yoktu. Bir istatistikçi de bu olayın olasılığını matematiği ile birlikte açıklayarak mümkün olduğunu ve tüm dünyada bu tip tesadüflerin yaşanması gerektiğini bu “büyük sayıların yasası” ile açıkladı.

Ama bu çok çok düşük bir olasılık tabi.

Şöyle anlatalım.

Örneğin amerika’daki Mega Million isimli piyangoyu kazanma şansı 302.6 milyonda bir.

Örnek garip gelebilir ama 302.6 milyon saniye de 9.5 yıla denk geliyor.

Ve bu piyangoyu kazanma şansınız şuna benziyor.

Önümüzdeki dokuz buçuk yıl içinde bir insanın tam olarak hangi saniyede mesela hapşıracağını bilebilir misiniz? 10 Mayıs 2028 tam olarak 10:38:09’da gibi.

İşte bu kadar düşük bir olasılık.

Ama. Mümkün…

Bununla birlikte sayıları ve istatistiği iyi kavrayamadığımızda her yerden pompalanan endişe ve korku konusunda da çaresiz kalabiliyoruz.

Mesela. Yine istatistiklere kolay ulaşabildiğimiz için Amerika üzerinden gidersek.

Ebola’dan ölme ihtimaliniz piyangoyu kazanmaktan biraz daha yüksek. 310 milyonda bir. Yani ölebileceğiniz en nadir yollardan birisi ebola.

Hatta garip belki ama bir terör saldırısında ölme ihtimaliniz bundan da düşük. 2016’da yapılan bir araştırmada bir yıl içinde bir terör saldırısında hayatını kaybetme olasılığınız 3.64 milyarda bir. Bu da sadece Amerika içinde.

Ama mesela bir arı ısırması sonucunda ölme ihtimaliniz daha yüksek. 6 milyonda bir.

Ya da bir merdivenden düşüp ölme. 708 binde bir.

Kanser misal. Herhangi bir kansere yakalanıp ölme olasılığınız 538’de bir.

Yani sayılar, istatistik doğru okunduğunda neye odaklanmamız gerektiğini de daha iyi anlayabiliriz. Toplumu da buna göre yönlendirebilirsiniz. Sürekli bir saldırıdan ya da çok yaygın olmayan bir nedenle ölmekten korkmayı öğütleyenlere bakmadan çok daha büyük bir risk oluşturan kanser ya da kalp rahatsızlıklarına karşı önlem almayı, spor yapmayı, sağlıklı beslenmeyi öğütleyebiliriz insanlara. Ülkeler bu yönde adımlar atabilir.

Ama tabi bunun neden yapılıp yapılmadığına dair yorumları da size bırakıyorum.

Peki. Büyük sayıların veya küçük olasılıkların ne kadar aldatıcı olabileceğini gördük.

Tüm bu çılgın sayıları bahsettiğimiz “büyük sayılar yasası” ile istatistiğin nasıl kullandığını da konuşalım.

Örneğin bir zarı peş peşe atalım. Normal şartlarda 1, 2, 3, 4, 5 ve 6 sayılarının gelme olasılığı eşittir. Bu sonuçların beklenen değeri de.

(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 = 3,5 olur.

Evet. Bir zarı çok fazla atarsanız gelen sayıların ortalaması yaklaşık 3.5 olacaktır. Ne kadar fazla atarsanız bu değere daha da yaklaşacaktır.

Buraya bakın, ilk başta zar atışlarının ortalaması acayip dalgalı. Ama. Büyük sayılar yasası tarafından öngörüldüğü üzere, gözlem sayısı arttıkça, yani ne kadar zar atarsanız ortalama, beklenen değer 3,5’e neredeyse sabitleniyor. Çok garip değil mi?

Ya da yazı tura atmak. Bir madeni paranın peş peşe atılması durumunda, yazıların (ya da turaların) sıklığı, birkaç denemede üstüste tura gelme olasılığı var ama sayı arttıkça, 10 bin kere attığınızda yazı ile tura oranı %50’ye gittikçe yaklaşacaktır.

Yani bu açıdan da büyük sayılar yasası önemlidir, çünkü rastgele olaylardan kararlı uzun-vadeli sonuçlar alınacağını “garanti eder”. Örneğin, bir gazino tek bir Amerikan Rulet dönüşünden para kaybedebilir, ama 1000lerce dönüşe oynanan paranın tamamının %5,3’üne yakınını neredeyse kesin olarak kazanacaktır. Birkaç kere kazanan bir oyuncu kasa için sorun değildir. Uzun vadede kasa her zaman kazanacaktır.

İşte bu bakış açısını hayatınızın her alanına uygulayabilirsiniz. Birkaç kere denedikten sonra vazgeçilen tüm çabaların, uğraşların başarılı olma ihtimali zaten çok yüksek. Sayı arttıkça, siz ayağa kalkıp tekrar denedikçe başarı oranınız o oranda artıyor.

Ama sadece bu açıdan değil. İstatistik az önce de bahsettiğim gibi korkularınızı da yenmenize yardımcı olabilir. Ya da size söylenen yalanları daha rahat tespit etmenizde de.

Sayılara doğru baktığınızda, bu seride de çok daha fazla örnekle konuşacağımız olasılıkları daha iyi hesapladığınızda kendinize olan güveniniz ile birlikte daha iyi kararlar aldığınızı da göreceksiniz.

Hangi riskleri alıp hangileri almamanız gerektiğini. Dünyada olup biteni nasıl yorumlamanız gerektiğini.

Örneğin patronunuzdan ne kadar zam istemeniz gerektiğini bile.

Kaynaklar

https://bebarbilim.net/buyuk-sayilar-yasasi-ve-matematiksel-dusunebilmek/