Oyun Teorisi

Hepimiz her gün bir sürü karar alıyoruz. Bu kararların bir kısmının sonucu sadece bizi ilgilendirse de bir kısmı da başka insanların hayatlarını etkileme potansiyelinde sahip olabiliyor. Oyun teorisi sonuçların bir kişi veya kişilerin verdiği kararlara bağlı olduğu durumları, olası her bir seçim için ayrı ayrı çözümleyip incelemektedir. Diğer bir deyişle oyun teorisi, çıkar çatışması durumlarının matematiksel olarak incelenmesidir. Temelinde farklı durumlarda stratejik davranışları analiz etmeye odaklanır. Oyun teorisindeki bir problem çözümü önce tipik olarak hedeflerin ve seçeneklerin cebirsel denklemler açısından ölçülmesini ve ardından en yüksek maksimum başarı olasılığını veren seçeneği bulmayı içerir.

Oyun Teorisinin Kısa Tarihi

İnsanlar yüzyıllar boyunca oyunlar ve stratejiler üzerinde çalışsalar da oyun teorisi, John von Neumann 1928’de “minimax teoremi” olarak bilinen şeyi kanıtladığında uygulamalı matematiğin bir dalı haline geldi. Bu teorem, her oyuncunun sınırlı sayıda seçenekten birini seçtiği ve her oyuncunun yaptığı seçime bağlı olarak, oyunculardan birinin diğer oyuncuya belirli bir miktar para verdiği iki oyuncu arasında oynanan oyunları dikkate alır. Bu durumlarda bir oyuncunun uğradığı kayıplar diğer oyuncunun kazandıklarına tam olarak eşit olduğu için, buna genellikle “sıfır toplamlı oyun” denir. Örneğin A ile B kişisi 10 lirasına bir iddiaya tutuşsunlar. Bu durumda mesela A kişisi 10 lirayı kazanırsa, B kişisi de 10 lirayı kaybedecektir. Sonuçta, bu oyun sıfır toplamlı bir oyundur.

Von Neumann, bir oyuncunun kazancını maksimize edecek (veya kayıpları en aza indirecek) benzersiz bir strateji olduğunu kanıtlayabilmiştir. Bu çalışma daha sonra 1944 yılında von Neumann ve Oskar Morgenstern tarafından oyun teorisini ekonomistler için değerli bir araç haline getiren Oyun Teorisi ve Ekonomik Davranış ( Theory of Games and Economic Behavior) adlı kitapta genelleştirilmiştir.

Von Neumann’ın yazdığı strateji türünün bir örneği, hepimizin bildiği taş-kağıt-makas oyununu oynarken ortaya çıkıyor. Bu oyunda, iki oyuncunun her biri üç olası seçenekten birini seçer (taş, kağıt veya makas). Her oyuncunun yaptığı seçime bağlı olarak ikisinden biri kazanan ilan edilir. Taş makası, makas kağıdı, kağıt da taşı yener. İki oyuncu aynı seçimi yaparsa, oyun berabere ilan edilir. Karşınızdaki rakibin yaptığı seçim ne olursa olsun, sonuçta oyunda kazanma, kaybetme veya beraberlik biçiminde üç seçenek vardır. Bu nedenle, oyuncu rakibin neyi seçeceğine dair herhangi bir öngörüye sahip değilse, her biri üçte bir olasılığa sahip rastgele üç seçenekten birini seçerek en iyisini yapacaktır.

Oyun Teorisine John Nash’ın Katkıları

Minimaks teoremi sadece 2 kişilik 0 toplamlı oyunları içeren bir genelleme sunar ve açıkta bir çok nokta bırakır. İşte bu açıkta kalan noktalar matematikçilerin konu üzerine daha fazla eğilmesine neden olmuştur. Yeni teoremler çok uzun sürmeden kendisini gösterir ve bunlardan en iyisi John Forbes Nash’e Nobel ödülü getiren denge teoremdir. Herhangi bir oyunu sadece kendi açınızdan değerlendirirseniz kesinlikle en yüksek sonucu elde edeceğiniz bir stratejiniz olur. Fakat bu strateji karşınızdaki oyuncunun en yüksek stratejisine zıt sonuç yaratacağı için onun planları sizinkini bozacaktır. Bu durumda herkesin dengenin sağlanması için biraz fedakarlık göstermesi gerekecektir. Peki böyle bir dengenin bir oyunda olup olmadığını garanti eden nedir? Nash’in teoremi n kişilik “anlaşmasız” oyunlarda (0 toplamlı olsun olmasın) böyle bir dengenin varlığını söylemektedir. Oyun kuramında oyunlar bazen anlaşmalı bazen de anlaşmasız olur. Anlaşmasız oyunların en ünlüsü Tutuklunun İkilemi diğer adıyla Mahkum İkilemidir.

Nash’in doktora hocası Albert Tucker’ın tasarladığı mahkum ikilemi probleminde iki kişi, Alan (A) ve Bruce (B) otobanda bir soyguna karıştıkları şüphesiyle polis tarafından tutuklanır; fakat polisin ikili aleyhine kanıtları yetersizdir. Mahkumları nasıl ifade verecekleri konusunda fikir alışverişinde bulunmasınlar diye iki ayrı hücreye koyarlar. Alan ve Bruce’un alacağı hapis cezası sadece polis sorgusunda bireysel olarak nasıl davrandıklarına değil, ortak olarak nasıl davrandıklarına da bağlı olacaktır. Çünkü biri itiraf eder de diğeri etmezse polis itirafçıyı, on yıl yerine bir yıl ceza ile “ödüllendirecektir”. Eğer iki mahkum birden itiraf ederse de; bu durumda her ikisi için de dört yıl hapis cezası istenecek ve dava bu şekilde kapanmış olacaktır. Bu oyunun iki stratejisi var; itiraf etmek ya da sessiz kalmak.

Alan’ın ne yapması gerekir? ltiraf ederse alacağı en yüksek ceza Bruce’un da itiraf etmesi halinde dört yıl hapis cezası olacaktır. İtiraf etmezse, alacağı en yüksek ceza on yıl hapis olacaktır. Alan akılcı bir insan olduğundan itiraf etmeyi tercih eder. Bruce da bu probleme aynı şekilde bakar ve o da itiraf etmeyi tercih eder; nihayetinde ikisi de dört yıl hapis cezasına çarptırılır. Buna göre, her birey seçim yaparken ilişkide bulunduğu diğer birey ve değişkenlerin davranışlarını gözeterek en iyi sonucu alabileceği tercihi yapmaya çalışmalıdır. Yani seçim yaparken bireysel çıkarlardan ziyade, etkileşimde olduğu alanın çıkarını da gözeterek en etkili sonucu alabileceği seçimi yapması gerekiyor.

Oyun teorisi ekonomide bir devrim yarattı. Devamında da üniversitelerde iktisat ile ilgili bölümlerde standart bir ders halini aldı.

İktisadî aktörler arasında stratejik bir ilişkinin olduğu durumları biz birer oyun olarak modelleyebiliyoruz. Mesela askerde mıntıka temizliği diye bir şey vardır. Her sabah yerdeki çöpleri teker teker elinizle toplarsınız. Kışlada sigara izmaritinden başka pek çöp olmaz. Nereden geliyor bu izmaritler? Askerlerin içtiği sigaralardan. Peki askerler yarın kendi elleriyle toplayacakları izmaritleri neden yere atıyorlar? Çöp kutusuna yürüme zahmetine katlanmak istemediklerinden. Aslında kimse izmaritini yere atmasa mıntıka temizliği yapmak zorunda da kalmayacaklardı. Yani iki dakika çöpe yürümedikleri için yarım saat yerden pislik topluyorlar.

Buradaki stratejik etkileşimi şöyle açıklayalım. Herkes izmaritini çöpe atarken siz yere atarsanız koca kışlada o tek izmarit göze batmayacağı için kirlilik yaratmaz. Böylece diğerlerinin sorumlu davranışından istifade ederek hem çöpe gitme külfetinden kurtulmuş hem de ertesi gün mıntıka temizliği yapmamış olursunuz. Ama herkes sizin gibi “rasyonel” düşünürse bu sefer her yerde yine izmarit olur ve ertesi gün herkes yarım saat mıntıka temizliği yapmak zorunda kalır. Gerçi askerlikte mantık aranmaz, komutan sırf iş olsun diye temiz mıntıkayı da temizletir muhtemelen ama olsun. Herkes için en iyi sonucun temizlik yapmamak olacağını tüm askerler bildiği halde gidip izmariti yere atarak daha aşağı (inferior) bir sonuç olan mıntıka temizliği yapma noktasına gelinmesi bir açmazdır.

Bu bağlamda mıntıka temizliği oyunu teknik olarak, Murder by Numbers (2002) filminden hatırlayabileceğiniz, mahkumlar açmazı (prisoner’s dilemma) oyunuyla aynıdır. Stratejik etkileşimli, yani bir kişinin faydasının sadece kendi davranışına değil başkalarının da davranışına bağlı olması durumu aslında hayatın pek çok alanında gözlemlenebilir. Ana-akımda evlilik, reklam harcaması, silahlanma vesaire sıklıkla oyun teorik yaklaşımlarla incelenir. İlk etapta kulağa makul ve eğlenceli gelse de aslında ideolojik açıdan pek masum bir alan değildir.

Nash’in katkıları

John Nash’in tezi soyut matematiksel bir ispattan ibarettir. Evet, ibarettir. Özetlemek gerekirse Nash önce spesifik bir denge tanımı yapar. Buna göre Nash dengesi, belli karakteristikleri olan iki matematiksel fonksiyonun eşanlı çözümüdür. Buna bağlamsal bir ifadeyle, iktisadî aktörlerin birbirlerinin stratejilerine verdikleri en iyi tepkilerin kesişimi diyebiliriz.

Mesela mıntıka temizliği oyununda izmariti yere atmak baskın (dominant) strateji olduğundan oyunun Nash dengesi mıntıka temizliği yapılan sonlanımdır. Sonra Nash, bu tanımın, bir takım matematiksel varsayımlar altında her zaman var olduğunun ispatını yapar. Yani Nash’in tezi her oyunun denge noktası olduğunu garanti eder. Oyun teorisinin sert çekirdeğinde bu denge kavramı vardır. Gerisi, varlığı ispatlanmış olan bu denge noktasının kararlı olup olmadığı, tekil mi yoksa çoklu mu olduğu, karma-stratejilerin çözümü, farklı oyunlarda Nash dengesinin karakteristik özellikleri vesaireden ibarettir.

İktisat ve matematiğe uzak olanlar için şöyle bir benzetme yapayım. Önce kaba etimden uydurup “kanatlanıp uçan insanlara kuş-insan denir” diye bir tanım yapıyorum. Sonra da fizik kurallarını kâğıt üzerinde uygulayarak, belli kilo aralıklarında ve belli kanat uzunluğu sağlandığı durumlarda kanatların çırpılmasıyla kuş-insanların uçacağı sonucunu gösteriyorum. Yani kâğıt üzerinde ve kendi içinde gayet tutarlı bir hikâye. Mesele aşağı yukarı bundan ibaret.

Burada herhangi bir “teori” görüyor musunuz? Göremiyorsunuz. Çünkü yok. Gerçek hayatta insanlar uçabiliyor mu? Hayır. Aynen bu şekilde Nash dengesinin kâğıt üzerinde var olması gerçek hayatta insanların o dengeye yakınsayıp yakınsamayacağına dair hiçbir şey söylemiyor. Yani öyle bir denge noktası kâğıt üzerinde var. Fakat bunu bilmenin bize pek bir faydası yok.

Ben bu oyunu bozarım

Verili bir gözleminiz vardır. Mesela bebek arabası satışlarının yüksek olduğu şehirlerde suç oranı da yüksektir. Bu ilişkiyi nasıl bir teoriyle açıklarsınız? Diyebilirsiniz ki suçlular cinayetleri bebek arabasıyla işliyor. Bu bir hipotezdir. Kâğıt üzerinde ispatlayabilirsiniz ama gerçekte adli tıp raporları hipotezinizi çürütecektir. Daha makul bir açıklama nüfusun yüksek olduğu yerlerde suç oranının da yüksek olduğudur. Yani bebek arabası satışlarının yüksek olmasının sebebi yüksek nüfustur. İşte teori bu ve benzeri tartışmalarla geliştirilir.

Neoklasik oyun teorisinde böyle bir teorik yaklaşım yoktur. Meselenin özü, tanımı önceden yapılmış bir denge noktasının varlığının matematiksel ispatından ibarettir. Dolayısıyla oyun teorisi aslında bir teori değildir. İnsanların stratejik etkileşimin olduğu durumlarda, misal mahkûmlar açmazı, Nash dengesine ulaşıp ulaşmadıklarını görmek için deneyler yapılıyor.

Oyun teorik modellerde insanlar bencil, birbirlerinden ve toplumdan izole, kendi faydasından başka bir şey düşünmeyen, en ufak karar için bile milyonlarca ince hesaplar yapan tamamen rasyonel bireyler olarak varsayılır. Kâğıt üzerinde, böyle davranan insanların (eğer denge noktası tek ise) Nash dengesinde buluşacağı gösterilir. Fakat hem laboratuvar deneylerinde hem de gerçek hayat gözlemlerinde biz insanların Nash dengesinde buluşmadığını görüyoruz. Çünkü insanlar neoklasik iktisadın varsaydığı gibi davranmıyor. Yani insanlar kanatları olmadıkları için uçamıyorlar. Ne büyük sürpriz!!

Bu durum karşısında bazı naif burjuva iktisatçıları kendilerine 1) “Allah Allah deneyde neyi yanlış yaptık acaba” diye sorarlar. Tasarımda kritik bir yanlış yoksa bu sefer 2) “O zaman insanlar nerede yanlış yapıyor” diye sorarlar. Mesela mahkûmlar açmazı oyununda Nash dengesi bencil mahkûmların birbirlerini ispiyonladığı sonlanımdır. Ama gerçek hayatta mahkûmlar birbirlerini ispiyonlamıyor. Neden? Çünkü gerçek hayatta sosyal ilişkiler vardır; aşk vardır, sevgi vardır, arkadaşlık vardır, akrabalık vardır, seks, uyuşturucu ve rock’n roll vardır.

Düşünün 20 yıldır evli olduğunuz eşinizle bir suç işlediniz; yakalandınız ve mahkûmlar açmazının içine girdiniz. O zamana kadar da hayatınızda mantıklı davranan biri olduğunuzu düşünüyorsunuz. Polisler size eşinizi ispiyonlamanız için bir anlaşma teklif etti. Eşinizi ispiyonlar mısınız? Çocuğunuzu, annenizi, sevgilinizi veya en yakın arkadaşınızı ispiyonlar mısınız?

Neden ispiyonlamazsınız? Çünkü aranızdaki sosyal bağlar sizin davranışınızda belirleyicidir de ondan. Gerçek hayatta sosyal bağları olan kişiler birbirlerini ispiyonlamadıkları için oyunda daha iyi (superior) sonuca ulaşabiliyorlar, Nash dengesinin aksine.

Gangsterler, kısmen bu yüzden, bir aile gibi davranırlar. Gangster olmanın bir numaralı kuralı polise ötmemektir. Liselerde yaramazlık yapanlar müdüre ispiyonlanmaz. Ya da kadın-erkek çekişmesi (battle of sexes) oyununda çiftler stratejilerini yazı turayla belirlemez. Pek çok öğrencinin yorumu oyun teorik modellerin bireyler bazında çuvalladığını ancak söz konusu aktörler sosyal bağları olmayan ve birbirleriyle pazar payı için mücadele eden şirketler olduğunda oyun teorisinin açıklayıcı olacağı yönünde oluyor.

Ama gelin görün ki Bertrand oligopol modelinin öngördüğü gibi şirketler fiyat savaşına girip, Nash dengesine doğru, birbirlerini yemek yerine piyasaya gönderdikleri sinyaller vesilesiyle yüksek bir fiyat üzerinde anlaşıyorlar. Örnekler çoğaltılabilir.

İdeolojik endoktrinasyon olarak oyun teorisi

Özünde oyun teorisi belirleyiciliğin toplumsal katmanını (social layer of determination) aradan çıkartıp kapitalizmin bencil bireyler ütopyasında mekanik bir çözümleme yapıyor. Bunun tam tersinde, radikal ekonomi politik ana-akım iktisadın yok saydığı sosyal katmanı tekrar araya sokup toplumsal dinamikleri açıklamaya çalışıyor. Mahkûmlar açmazı oyununun deneyleri sosyoloji, psikoloji, tarih ve hatta işletme bölümü öğrencilerinin üstün (kooperatif) sonuca ortalamada daha sık ve daha kolay ulaştığını ancak iktisat öğrencilerinin genelde birbirlerini ispiyonlayarak Nash dengesinde buluştuklarını gösteriyor.

Buna seçilim önyargısı diyenler olabilir ama aynı deneyi farklı sınıflardaki iktisat öğrencileri arasında yapınca oyun teorisi derslerinden sonra birbirlerini ispiyonlayanların oranlarında artış olduğu görülüyor. Yani aslında kooperatif davranacak olan bazı kişiler oyun teorisi ve mikroekonomi derslerine maruz kaldıktan sonra daha stratejik düşünmeye başlıyorlar. Bu da iktisat eğitiminin ideolojik bir endoktrinasyon olduğu görüşünü kuvvetlendiriyor.

Kısacası sistem bireylere bencil davranmaları gerektiğini öğretiyor. Nash dengesini öğrenen öğrenciler sanki o şekilde davranılması gerektiği hissine kapılıyor. Tabii bu, John Nash’in bilinçli olarak işlediği bir günah olmayabilir. Hatta John Nash, bildiğim ve duyduğum kadarıyla, son derece naif bir adammış. Aslında kendisi şizofreni hastalığından ötürü, Akıl Oyunları filminde resmedildiği gibi, komünist Sovyet ajanlarından da kaçmıyormuş. Gerçek hayatta kendisini kovalayanların uzaylılar olduğunu zannediyormuş.

Film, Amerika’nın anti-Sovyet kara propagandası doğrultusunda çarpıtılmış. Dolayısıyla ben Nash’in ideolojik bir gündemi olduğunu sanmıyorum. Ama ana-akım iktisat camiasının böyle bir gündemi var. Topoloji ve diferansiyel denklemler üzerine çalışan paranoyak bir matematikçinin iktisat literatüründe bu kadar yer işgal etmesi kendi açısından hoş bir tesadüf, iktisat camiası açısından ise tamamen ideolojiktir. Mesela Nash’in Riemann çok-katlısının bildiğimiz Öklit uzayına aynı uzunluklarla gömülebileceğini gösterdiği teoremler günahı olmayan çalışmalardır. Ama liberal sistem Nash’in matematiğini eğip büküp iktisat literatürüne bu haliyle yerleştirmiştir.

Oyun kuramı, belirli bir hedefe yönelik karar verme gücüne sahip birimlerden oluşan sistemleri incelemekte kullanılan matematiksel bir yöntemdir.

Kötü haber:Oyun Kuramı bilmek kazanmayı temin etmez.

İyi haber:Oyun Kuramı bilmek stratejik etkileşimi anlamayı sağlar

Oyun örnekleri:

Siyasi partilerin politika belirlemesi/Seçmenlerin oy vermesi/Satranç/Trafik/Doping kontrolü/Kartel kurmak/Biyolojik evrim?

İşbirliğine Dayalı Oyun Teorisi Bireysel ve Ortak Rasyonellik (Çoklu dönemlerde daha yüksek) Rekabete Dayalı Oyun Teorisi Nash Dengesi (Her iki firmanın dominant stratejilerinin birleşimi)Dominant strateji, karşı firmanın strateji seçimi ne olursa olsun ilgili firmaya en iyi sonucu sağlayan strateji.

Nash dengesi, diğer firmaların stratejilerini sabit tuttuğu, hiçbir firmanın farklı bir strateji seçerek daha yüksek bir kar, çıkar elde edemeyeceği durumun olmasını sağlayan stratejilerin belirlenmesi. Nash dengesi her zaman en iyi çözümü vermemekte. Mahkumlar Açmazı

MAHKUM İKİLEMİNİN ÖZETİ:


Mahkum Dilemması (İkilemi)

Bu dilemma, Oyun Teorisi’ne giriş dersi konularından biri olup oyun teorisinin bilimsel olarak nasıl yapılandırıldığını açıklamak için kullanılır.

İki şüpheli bir soruştuma gereğince göz altına alınmıştır.

Polis şüphelileri ayrı sorgu odalarına alır ve bir bir teklifte bulunur. Polisin elinde yeterli delil, şüphelilerin de birbiri ile iletişim kurma imkanı yoktur.

Polisin teklifi;

*Eğer iki şüpheli de “suskun” kalırsa her ikisi de 1’er yıl hapis cezası alacaktır.

*Eğer şüpheliler birbiri aleyhine tanıklık ederse her ikisi de 2’şer yıl hapis cezasına çarptırılacaktır.

*Şüphelilerden biri, diğerinin aleyhinde tanıklık eder ancak diğeri suskun kalmayı seçerse tanıklık eden serbest kalacak ancak suskun kalan 3 yıl hapis cezasına çarptırılacaktır.

Soru: Şüpheli suskun mu kalmalı, diğeri aleyhine suçlamada mı bulunmalı?

Çözüm: En zeki seçim, suskun kalmaktır.

Şüpheli seçimini yaparken, karşı tarafın seçimini bilmediğinden rasyonel olan, ceza süresini en aza indiren, suskun kalma seçimini yapmak olacaktır. Oysa bu gerçek dünyada nadiren gerçekleşir. Çünkü genellikle şüpheliler kendi çıkarları doğrultusunda karar verecek, her ikisi de 2 yıl hapis cezasına çarptırılacaktır.

Mahkum Dileması güçlü ülkelerin nükleer savaş başlığı üretme eylemine çok benzer. Çünkü nükleer bir savaş, karşılıklı olarak yıkımı garanti eder. Oyun teorisine göre yapılacak en doğru şey, nükleer başlıklardan tamamen kurtulmaktır.

3 Kapı Problemi

Bu problem, 1963 yılında Amerika’da yayınlanan “Hadi Bir Anlaşma Yapalım” adlı yarışma programıyla ünlü olmuştur.

*Yarışmanın sunucusu Monty Hall, yarışmacıdan stüdyodaki 3 kapıdan birini seçmesini ister.

*Kapılardan birinin ardında pahalı bir araba, diğer ikisinin ardında ise birer keçi vardır.

*Yarışmacı 1, 2 veya 3 numaralı kapılardan birini seçer.

*Hall, yarışmacının seçmediği kapılardan birini açar. Hall’ün açtığı kapının ardından bir keçi çıkar.

*Geriye iki kapalı kapı kalır. Bu kapılardan biri, yarışmacının başlangıçta seçtiği kapı, diğeri ise Hall tarafından kapalı bırakılan kapıdır.

*Hall yarışmacıya seçtiği kapıyı değiştirebileceğini söyler.

Soru: Yarışmacı kapıyı değiştirmeli mi yoksa değiştirmemeli midir?

Çözüm: Yarışmacı seçimini mutlaka değiştirmelidir.

Yarışmacı araba olan kapıyı bulmak istediğine göre araba başarıyı, keçi ise başarısızlığı temsil etmektedir. Yarışmanın başında yaptığı seçimin başarılı seçim olma şansı 3’te 1’dir. Oysa Hall kapılardan keçi olan birini eledikten sonra arabayı bulma olasılığı 2’de 1’e inmiştir. Yani yarışmacı, ilk tercihte ısrarcı olursa %33 olan kazanma olasılığını, kapıyı değiştirerek %50’ye taşımış olur.

Şemada açıkça görüldüğü gibi seçimi değiştirmemek üç olasılıktan birinde doğru olacakken, değiştirmek iki olasılıktan birinde doğrudur.

Yine de aklınızda bir “acaba” kaldıysa örneği değiştirerek soruya yeniden bakalım: Diyelim ki 100 tane kapı var. Bu kapıların 99’unun ardında birer keçi, birinin ardında ise araba olduğunu varsayalım. Siz seçiminizi yaptıktan sonra Hall 98 keçili kapıyı açıyor. Geriye iki kapalı kapı kalıyor. Biri sizin seçtiğiniz, diğeri ise Hall’un kapalı bıraktığı tek kapı. Ne yaparsınız? Soru böyle sorulduğunda herkes kapısını değiştirir öyle değil mi? Aslında sorunun bu iki versiyonu arasında teknik olarak hiçbir fark yoktur. Yani rasyonel akıl yürütme, seçilen kapının değiştirilmesini gerektirir.

Kaynaklar

http://www.olaganustukanitlar.com/oyun-teorisi-nedir/
https://www.matematiksel.org/oyun-teorisi-john-nash-ve-akil-oyunlari/
https://www.matematiksel.org/oyun-teorisi/
http://www.olaganustukanitlar.com/oyun-teorisi-nedir/